初一數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)匯總，初一數(shù)學(xué)下冊(cè)有哪些重點(diǎn)知識(shí)？
來(lái)源：好上學(xué) ??時(shí)間：2023-07-29
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第二章 相交線與平行線
一、平行線與相交線
平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。
若兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，我們稱這兩條直線為相交線。
二、余角與補(bǔ)角
1、如果兩個(gè)角的和是直角，那么稱這兩個(gè)角互為余角，簡(jiǎn)稱為互余，稱其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角。
2、如果兩個(gè)角的和是平角，那么稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱為互補(bǔ)，稱其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角。
3、互余和互補(bǔ)是指兩角和為直角或兩角和為平角，它們只與角的度數(shù)有關(guān)，與角的位置無(wú)關(guān)。
4、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)：同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等。
5、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可表示為：
(1)∠1+∠2=900(1800)，∠1+∠3=900(1800)，則∠2=∠3 【同角的余角(或補(bǔ)角)相等】。
(2)∠1+∠2=900(1800)，∠3+∠4=900(1800)，且∠1=∠4則∠2=∠3 【等角的余角(或補(bǔ)角)相等】。
6、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)是證明兩角相等的一個(gè)重要方法。
三、對(duì)頂角
1、兩條直線相交成四個(gè)角，其中不相鄰的兩個(gè)角是對(duì)頂角。
2、一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。
3、對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。
4、對(duì)頂角的性質(zhì)在今后的推理說(shuō)明中應(yīng)用非常廣泛，它是證明兩個(gè)角相等的依據(jù)及重要橋梁。
5、對(duì)頂角是從位置上定義的，對(duì)頂角一定相等，但相等的角不一定是對(duì)頂角。
四、垂線及其性質(zhì)
1、垂線：兩條直線相交成直角時(shí)，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。
2、垂線的性質(zhì)：
性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。
性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。
五、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角
1、兩條直線被第三條直線所截，形成了8個(gè)角。
2、同位角：兩個(gè)角都在兩條直線的同側(cè)，并且在第三條直線(截線)的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同位角。
3、內(nèi)錯(cuò)角：兩個(gè)角都在兩條直線之間，并且在第三條直線(截線)的兩旁，這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。
4、同旁內(nèi)角：兩個(gè)角都在兩條直線之間，并且在第三條直線(截線)的同旁，這樣的一對(duì)角叫同旁內(nèi)角。
5、這三種角只與位置有關(guān)，與大小無(wú)關(guān)，通常情況下，它們之間不存在固定的大小關(guān)系。
六、六類角
1、補(bǔ)角、余角、對(duì)頂角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角六類角都是對(duì)兩角來(lái)說(shuō)的。
2、余角、補(bǔ)角只有數(shù)量上的關(guān)系，與其位置無(wú)關(guān)。
3、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角只有位置上的關(guān)系，與其數(shù)量無(wú)關(guān)。
4、對(duì)頂角既有數(shù)量關(guān)系，又有位置關(guān)系。
七、平行線的判定方法
1、同位角相等，兩直線平行。
2、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。
3、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。
4、在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。
5、在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于第三條直線，那么這兩條直線平行。
八、平行線的性質(zhì)
1、兩直線平行，同位角相等。
2、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。
3、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。
4、平行線的判定與性質(zhì)具備互逆的特征，其關(guān)系如下：
在應(yīng)用時(shí)要正確區(qū)分積極向上的題設(shè)和結(jié)論。
九、尺規(guī)作線段和角
1、在幾何里，只用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)作圖稱為尺規(guī)作圖。
2、尺規(guī)作圖是最基本、最常見(jiàn)的作圖方法，通常叫基本作圖。
3、尺規(guī)作圖中直尺的功能是：
(1)在兩點(diǎn)間連接一條線段;
(2)將線段向兩方延長(zhǎng)。
4、尺規(guī)作圖中圓規(guī)的功能是：
(1)以任意一點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作一個(gè)圓;
(2)以任意一點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫一段弧;
5、熟練掌握以下作圖語(yǔ)言：
(1)作射線××;
(2)在射線上截取××=××;
(3)在射線××上依次截取××=××=××;
(4)以點(diǎn)×為圓心，××為半徑畫弧，交××于點(diǎn)×;
(5)分別以點(diǎn)×、點(diǎn)×為圓心，以××、××為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)×;
(6)過(guò)點(diǎn)×和點(diǎn)×畫直線××(或畫射線××);
(7)在∠×××的外部(或內(nèi)部)畫∠×××=∠×××;
6、在作較復(fù)雜圖形時(shí)，涉及基本作圖的地方，不必重復(fù)作圖的詳細(xì)過(guò)程，只用一句話概括敘述就可以了。
(1)畫線段××=××;
(2)畫∠×××=∠×××;
第三章 變量之間的關(guān)系
一、變量、自變量、因變量、常量
變量：在某一變化過(guò)程中，不斷變化的量叫做變量。
自變量、因變量：如果一個(gè)變量y隨另一個(gè)變量x的變化而變化，則把x叫做自變量，y叫做因變量。
自變量是最初變動(dòng)的量，它在研究對(duì)象反應(yīng)形式、特征、目的上是獨(dú)立的;因變量是由于自變量變動(dòng)而引起變動(dòng)的量，它“依賴于”自變量的改變。
常量：一個(gè)變化過(guò)程中數(shù)值始終保持不變的量叫做常量.
二、函數(shù)的三種表示方法：
(一)列表法(用表格)
采用數(shù)表相結(jié)合的形式，運(yùn)用表格可以表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。列表時(shí)要選取能代表自變量的一些數(shù)據(jù)，并按從小到大的順序列出，再分別求出因變量的對(duì)應(yīng)值。列表法最大的特點(diǎn)是直觀，可以直接從表中找出自變量與因變量的對(duì)應(yīng)值，但缺點(diǎn)是具有局限性，只能表示因變量的一部分。
1、表格是表達(dá)、反映數(shù)據(jù)的一種重要形式，從中獲取信息、研究不同量之間的關(guān)系。
(1)首先要明確表格中所列的是哪兩個(gè)量;
(2)分清哪一個(gè)量為自變量，哪一個(gè)量為因變量;
(3)結(jié)合實(shí)際情境理解它們之間的關(guān)系。
2、繪制表格表示兩個(gè)變量之間關(guān)系
(1)列表時(shí)首先要確定各行、各列的欄目;
(2)一般有兩行，第一行表示自變量，第二行表示因變量;
(3)寫出欄目名稱，有時(shí)還根據(jù)問(wèn)題內(nèi)容寫上單位;
(4)在第一行列出自變量的各個(gè)變化取值;第二行對(duì)應(yīng)列出因變量的各個(gè)變化取值。
(5)一般情況下，自變量的取值從左到右應(yīng)按由小到大的順序排列，這樣便于反映因變量與自變量之間的關(guān)系。
(二)解析法(關(guān)系式)
關(guān)系式是利用數(shù)學(xué)式子來(lái)表示變量之間關(guān)系的等式，利用關(guān)系式，可以根據(jù)任何一個(gè)自變量的值求出相應(yīng)的因變量的值，也可以已知因變量的值求出相應(yīng)的自變量的值
1、用關(guān)系式表示因變量與自變量之間的關(guān)系時(shí)，通常是用含有自變量(用字母表示)的代數(shù)式表示因變量( 也用字母表示)，這樣的數(shù)學(xué)式子(等式)叫做關(guān)系式。
2、關(guān)系式的寫法不同于方程，必須將因變量單獨(dú)寫在等號(hào)的左邊。
3、求兩個(gè)變量之間關(guān)系式的途徑：
(1)將自變量和因變量看作兩個(gè)未知數(shù)，根據(jù)題意列出關(guān)于未知數(shù)的方程，并最終寫成關(guān)系式的形式。
(2)根據(jù)表格中所列的數(shù)據(jù)寫出變量之間的關(guān)系式;
(3)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的基本數(shù)量關(guān)系寫出變量之間的關(guān)系式;
(4)根據(jù)圖象寫出與之對(duì)應(yīng)的變量之間的關(guān)系式。
4、關(guān)系式的應(yīng)用：
(1)利用關(guān)系式能根據(jù)任何一個(gè)自變量的值求出相應(yīng)的因變量的值;
(2)同樣也可以根據(jù)任何一個(gè)因變量的值求出相應(yīng)的自變量的值;
(3)根據(jù)關(guān)系式求值的實(shí)質(zhì)就是解一元一次方程(求自變量的值)或求代數(shù)式的值(求因變量的值)。
(三)圖像法(用圖象)
對(duì)于在某一變化過(guò)程中的兩個(gè)變量，把自變量x與因變量y的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出這些點(diǎn)，這些點(diǎn)所組成的圖形就是它們的圖象(這個(gè)圖象就叫做平面直角坐標(biāo)系)。它是我們所表示兩個(gè)變量之間關(guān)系的另一種方法，它的顯著特點(diǎn)是非常直觀。不足之處是所畫的圖象是近似的、局部的，通過(guò)觀察或由圖象所確定的因變量的值往往是不準(zhǔn)確的。
表示的步驟是：
?、?列表：列表給出自變量與因變量的一些特殊的對(duì)應(yīng)值。一般給出的數(shù)越多，畫出的圖象越精確。
?、?描點(diǎn)：在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數(shù)軸(橫軸或x軸)上的點(diǎn)來(lái)表示自變量，用豎直方向的數(shù)軸(縱軸或y軸)上的點(diǎn)來(lái)表示因變量。
?、?連線：按照自變量從小到大的順序，用平滑的曲線把所描的各點(diǎn)連結(jié)起來(lái)。
1、圖象是刻畫變量之間關(guān)系的又一重要方法，其特點(diǎn)是非常直觀、形象。
2、圖象能清楚地反映出因變量隨自變量變化而變化的情況。
3、用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數(shù)軸(又稱橫軸)上的點(diǎn)表示自變量，用豎直方向的數(shù)軸(又稱縱軸)上的點(diǎn)表示因變量。
4、圖象上的點(diǎn)：
(1)對(duì)于某個(gè)具體圖象上的點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作橫軸的垂線，垂足的數(shù)據(jù)即為該點(diǎn)自變量的取值;
(2)過(guò)該點(diǎn)作縱軸的垂線，垂足的數(shù)據(jù)即為該點(diǎn)相應(yīng)因變量的值。
(3)由自變量的值求對(duì)應(yīng)的因變量的值時(shí)，可在橫軸上找到表示自變量的值的點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)作橫軸的垂線與圖象交于某點(diǎn)，再過(guò)交點(diǎn)作縱軸的垂線，縱軸上垂足所表示的數(shù)據(jù)即為因變量的相應(yīng)值。
(4)把以上作垂線的過(guò)程過(guò)來(lái)可由因變量的值求得相應(yīng)的自變量的值。
5、圖象理解
(1)理解圖象上某一個(gè)點(diǎn)的意義，一要看橫軸、縱軸分別表示哪個(gè)變量;
(2)看該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的橫軸、縱軸的位置(數(shù)據(jù));
(3)從圖象上還可以得到隨著自變量的變化，因變量的變化趨勢(shì)。
3、理解圖像：a.認(rèn)真理解圖象的含義，注意選擇一個(gè)能反映題意的圖象;b.從橫軸和縱軸的實(shí)際意義理解圖象上特殊點(diǎn)的含義(坐標(biāo))，特別是圖像的起點(diǎn)、拐點(diǎn)、交點(diǎn)
三、速度圖象
1、弄清哪一條軸(通常是縱軸)表示速度，哪一條軸(通常是橫軸)表示時(shí)間;
2、準(zhǔn)確讀懂不同走向的線所表示的意義：
(1)上升的線：從左向右呈上升狀的線，其代表速度增加;
(2)水平的線：與水平軸(橫軸)平行的線，其代表勻速行駛或靜止;
(3)下降的線：從左向右呈下降 狀的線，其代表速度減小。
四、路程圖象
1、弄清哪一條軸(通常是縱軸)表示路程，哪一條軸(通常是橫軸)表示時(shí)間;
2、準(zhǔn)確讀懂不同走向的線所表示的意義：
(1)上升的線：從左向右呈上升狀的線，其代表勻速遠(yuǎn)離起點(diǎn)(或已知定點(diǎn));
(2)水平的線：與水平軸(橫軸)平行的線，其代表靜止;
(3)下降的線：從左向右呈下降狀的線，其代表反向運(yùn)動(dòng)返回起點(diǎn)(或已知定點(diǎn))。
五、三種變量之間關(guān)系的表達(dá)方法與特點(diǎn)：
表格法：多個(gè)變量可以同時(shí)出現(xiàn)在同一張表格中
關(guān)系式法：準(zhǔn)確地反映了因變量與自變量的數(shù)值關(guān)系
圖象法 直觀、形象地給出了因變量隨自變量的變化趨勢(shì)
第四章 三角形
一、三角形及其有關(guān)概念
1、三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊;相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn);相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角。
2、三角形的表示：三角形用符號(hào)“Δ”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“ΔABC”，讀作“三角形ABC”。
3、三角形的三邊關(guān)系：
(1)三角形任意兩邊之和大于第三邊。
(2)三角形任意兩邊之差小于第三邊。(三角形的第三邊大于兩邊之差小于兩邊之和)
(3)作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍。③證明線段不等關(guān)系。
(4)①一般地，對(duì)于三角形的某一條邊a來(lái)說(shuō)，一定有|b-c|a，那么a、b、c三條線段就能構(gòu)成三角形;如果已知線段a最小，只要滿足|b-c|
4、三角形的內(nèi)角的關(guān)系：
(1)三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°(2)直角三角形的兩個(gè)銳角互余。
5、三角形的穩(wěn)定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。四邊形具有不穩(wěn)定性。
6、三角形的分類：
(1)三角形按邊分類：
不等邊三角形
三角形 底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等邊三角形，也叫正三角形。
(2)三角形按角分類：
直角三角形(有一個(gè)角為直角的三角形)
三角形 銳角三角形(三個(gè)角都是銳角的三角形)
斜三角形
鈍角三角形(有一個(gè)角為鈍角的三角形)
把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。
7、三角形的三種重要線段：
(1)三角形的中線：
定義：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。
性質(zhì)：三角形的三條中線交于一點(diǎn)(重心)，交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部。
(2)三角形的角平分線：
定義：在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。
性質(zhì)：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)(內(nèi)心)。交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部。
(3)三角形的高線：
定義：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線(簡(jiǎn)稱三角形的高)。
性質(zhì)：三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)(垂心)。銳角三角形的三條高線的交點(diǎn)在它的內(nèi)部;直角三角形的三條高線的交點(diǎn)是它的斜邊的中點(diǎn);鈍角三角形的三條高所在的直線的交點(diǎn)在它的外部;
區(qū)別
相同
中線
平分對(duì)邊
三條中線交于三角形內(nèi)部
(1)都是線段(2)都從頂點(diǎn)畫出(3)所在直線相交于一點(diǎn)
角平分線
平分內(nèi)角
三條角平分線交于三角表內(nèi)部
高線
垂直于對(duì)邊(或其延長(zhǎng)線)
銳角三角形：三條高線都在三角形內(nèi)部
直角三角形：其中兩條恰好是直角邊
二、圖形的全等
全等圖形：定義：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形。性質(zhì)：全等圖形的形狀和大小都相同。
全等三角形
1、全等三角形及有關(guān)概念：
能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。兩個(gè)三角形全等時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。
2、全等三角形的表示：
全等用符號(hào)“≌”表示，讀作“全等于”。如△ABC≌△DEF，讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注意：記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。
3、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。
4、三角形全等的判定：
(1)邊邊邊：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”)。
(2)角邊角：兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”)
(3)角角邊：兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”)
(4)邊角邊：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”)
5.注意：①判定兩個(gè)三角形全等必須有一組邊對(duì)應(yīng)相等; ②全等三角形面積相等.
6、用尺規(guī)做三角形(依據(jù)判定)“SAS”“ASA”“SSS”
題目：已知三邊作三角形。
已知：如圖，線段a，b，c.
求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.
作法：
(1)作線段AB=c;
(2)以A為圓心b為半徑作弧，
(3)以B為圓心a為半徑作弧與前弧相交于C;
(4)連接AC，BC。
則△ABC就是所求作的三角形。
題目二：已知兩邊及夾角作三角形。
已知：如圖，線段m，n, ∠α.
求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.
作法：
(1)作∠A=∠α;
(2)在AB上截取AB=m ,AC=n;
(3)連接BC。
則△ABC就是所求作的三角形。
題目三：已知兩角及夾邊作三角形。
已知：如圖，∠α，∠β，線段m .
求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=m.
作法：
(1)作線段AB=m;
(2)在AB的同旁作∠A=∠α，作∠B=∠β，
∠A與∠B的另一邊相交于C。
則△ABC就是所求作的圖形(三角形)。
作圖題的一般步驟：
(1)已知，即將條件具體化;
(2)求作，即具體敘述所作圖-+形應(yīng)滿足的條件;
(3)分析，即尋找作圖方法的途徑(通常是畫出草圖);
(4)作法，即根據(jù)分析所得的作圖方法，作出正式圖形，并依次敘述作圖過(guò)程;
(5)證明，即驗(yàn)證所作圖形的正確性(通常省略不寫)。
7、利用三角形全等測(cè)距離
1、利用三角形全等測(cè)距離，實(shí)際上是利用已有的全等三角形，或構(gòu)造出全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)(對(duì)應(yīng)邊相等)，把較難測(cè)量或無(wú)法測(cè)量的距離轉(zhuǎn)化成已知線段或較容易測(cè)量的線段的長(zhǎng)度，從而得到被測(cè)距離。
2、運(yùn)用全等三角形解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：
(1)先明確實(shí)際問(wèn)題應(yīng)該用哪些幾何知道解決;
(2)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出幾何圖形;
(3)結(jié)合圖形和題意分析已知條件;
(4)找到解決問(wèn)題的途徑。
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