協(xié)方差是指(協(xié)方差函數(shù)是干什么的)

來(lái)源：好上學(xué) ??時(shí)間：2022-08-18

離均差、方差、均方差、協(xié)方差這幾個(gè)數(shù)學(xué)名詞都聽(tīng)上去都差不多，可是在日常工作生活中能用得上這些概念的人應(yīng)該不多，今天就來(lái)說(shuō)說(shuō)其中的差別。

要想搞清楚什么是離均差、方差、均方差和協(xié)方差，得先從均值這個(gè)概念開(kāi)始。哪怕是數(shù)學(xué)再不好的人，也應(yīng)該知道算術(shù)平均數(shù)是怎么回事吧。

以標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)為例，在2018年9月10日至9月21日期間共有10個(gè)交易日，自然也就有10個(gè)標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的收盤(pán)價(jià)。將這10個(gè)交易日的標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)收盤(pán)價(jià)相加后除以交易天數(shù)10，就會(huì)得出這10個(gè)交易日標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)收盤(pán)價(jià)的均值2,902.46。

日期	標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)X	均值
2018-9-10	2,877.13	2,902.46
2018-9-11	2,887.89
2018-9-12	2,888.92
2018-9-13	2,904.18
2018-9-14	2,904.98
2018-9-17	2,888.80
2018-9-18	2,904.31
2018-9-19	2,907.95
2018-9-20	2,930.75
2018-9-21	2,929.67
合計(jì)	29,024.58

有了均值，下面就可以計(jì)算離均差，離均差就是一組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)值與該組數(shù)據(jù)均值的差異。用上述10個(gè)交易日的收盤(pán)價(jià)分別減去均值2,902.46，可以得出每一個(gè)收盤(pán)價(jià)的離均差。

日期	標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)X	均值M	離均差=X-M
2018-9-10	2,877.13	2,902.46	(25.33)
2018-9-11	2,887.89		(14.57)
2018-9-12	2,888.92		(13.54)
2018-9-13	2,904.18		1.72
2018-9-14	2,904.98		2.52
2018-9-17	2,888.80		(13.66)
2018-9-18	2,904.31		1.85
2018-9-19	2,907.95		5.49
2018-9-20	2,930.75		28.29
2018-9-21	2,929.67		27.21

離均差是計(jì)算方差的基礎(chǔ)，將離均差乘方，相加求和后再除以10求平均值，得出來(lái)的結(jié)果就是這組數(shù)據(jù)的方差，方差衡量的也是一組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)值與該組數(shù)據(jù)均值的離散程度。在下表中，方差等于280.7405。方差的計(jì)算公式為

，其中x為樣本平均值，n為樣本的大小。

日期	標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)X	均值M	離均差	(離均差)^2=σ2
2018-9-10	2,877.13	2,902.46	(25.33)	641.51
2018-9-11	2,887.89		(14.57)	212.23
2018-9-12	2,888.92		(13.54)	183.28
2018-9-13	2,904.18		1.72	2.97
2018-9-14	2,904.98		2.52	6.36
2018-9-17	2,888.80		(13.66)	186.54
2018-9-18	2,904.31		1.85	3.43
2018-9-19	2,907.95		5.49	30.16
2018-9-20	2,930.75		28.29	800.44
2018-9-21	2,929.67		27.21	740.49
合計(jì)	29,024.58	2,807.4055
280.7405

有了方差，標(biāo)準(zhǔn)差就迎刃而解了，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差=方差的平方根，用σ表示。因此，前面這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差=(280.7405)^(1/2)=16.7553。

且慢。。。以上的計(jì)算過(guò)程是基于該組數(shù)據(jù)是樣本數(shù)據(jù)的總體這一前提假設(shè)，也就是說(shuō)在標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的歷史上只有2018年9月10日至9月21日這10個(gè)交易日的收盤(pán)價(jià)。當(dāng)然這是不可能，因?yàn)檫@些數(shù)據(jù)只是抽樣數(shù)據(jù)，是為了舉例說(shuō)明而給定的樣本數(shù)據(jù)而不是數(shù)據(jù)的全部，因此需要對(duì)以上計(jì)算過(guò)程略作調(diào)整。上表中的和2,807.4055應(yīng)除以（10-1）而不是10，方差的結(jié)果變成311.9339，同樣標(biāo)準(zhǔn)差也就變成=(311.9339)^(1/2)=17.6617：

標(biāo)準(zhǔn)差又名均方差，是離均差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根，可用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)值與該組數(shù)據(jù)均值的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式為

，其中x為樣本平均值，n為樣本的大小。標(biāo)準(zhǔn)差越大，說(shuō)明該組數(shù)據(jù)中大部分?jǐn)?shù)據(jù)與均值的差異較大。均值相等的兩組數(shù)據(jù)，標(biāo)準(zhǔn)差卻未必相同。比如，有A、B兩組數(shù)據(jù)，如下表所示，這兩組數(shù)據(jù)的均值都等于5。

A	B
3	4.8
5	5.2
4	4.3
6	5.7
7	5

但各數(shù)據(jù)偏離均值的程度是有差異的。。。，可以看到均值相等的兩組數(shù)據(jù)中，A組中各個(gè)數(shù)據(jù)之間的差異程度要高于B組。

小結(jié)一下：方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，是離均差平方的和的均值。

通過(guò)以上的演示計(jì)算，可以看到離均差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差衡量的都是某一組數(shù)據(jù)內(nèi)部各數(shù)值偏離均值的程度，通俗地講是自己跟自己比。但下面介紹的協(xié)方差比較的是兩組數(shù)據(jù)之間的差異程度。協(xié)方差的計(jì)算公式為其中