祖沖之如何推算圓周率(有關(guān)圓周率的資料)

來源：好上學(xué) ??時間：2022-08-16

祖沖之(429-500)，字文遠(yuǎn)。出生于建康(今南京)，祖籍范陽郡遒縣(今河北淶水縣)，中國南北朝時期杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。

祖沖之一生鉆研自然科學(xué)，其主要貢獻(xiàn)在數(shù)學(xué)、天文歷法和機械制造三方面。他在劉徽開創(chuàng)的探索圓周率的精確方法的基礎(chǔ)上，首次將"圓周率"精算到小數(shù)第七位，即在3.1415926和3.1415927之間，他提出的"祖率"對數(shù)學(xué)的研究有重大貢獻(xiàn)。直到16世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西才打破了這一紀(jì)錄。

由他撰寫的《大明歷》是當(dāng)時最科學(xué)最進(jìn)步的歷法，對后世的天文研究提供了正確的方法。其主要著作有《安邊論》《綴術(shù)》《述異記》《歷議》等。

人物生平

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家世背景

祖沖之，429年(南朝宋元嘉六年)出生于建康(今南京)，祖籍范陽郡遒縣(今河北淶水縣)。西晉末期，北方發(fā)生大規(guī)模戰(zhàn)亂，祖沖之的先輩從河北遷徙到江南，并在江南定居下來。祖沖之就出生在江南，其祖父祖昌任劉宋朝大匠卿，是朝廷管理土木工程的官吏，父親祖朔之做"奉朝請"，學(xué)識淵博，常被邀請參加皇室的典禮、宴會。

祖沖之從小就受到很好的家庭教育。爺爺給他講"斗轉(zhuǎn)星移"，父親領(lǐng)他讀經(jīng)書典籍，家庭的熏陶，耳濡目染，加之自己的勤奮，使他對自然科學(xué)和文學(xué)、哲學(xué)，特別是天文學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣，在青年時代就有了博學(xué)的名聲。

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早年經(jīng)歷

祖沖之曾在著作中自述說，從很小的時候起便"專功數(shù)術(shù)，搜爍古今"。他把從上古時起直至他生活的時代止的各種文獻(xiàn)、記錄、資料，幾乎全都搜羅來進(jìn)行考察。同時，主張決不"虛推古人"，決不把自己束縛在古人陳腐的錯誤結(jié)論之中，并且親自進(jìn)行精密的測量和仔細(xì)的推算。像他自己所說的那樣，每每"親量圭尺，躬察儀漏，目盡毫厘，心窮籌策"。

由于祖沖之博學(xué)多才的名聲，被南朝宋孝武帝派至當(dāng)時朝廷的學(xué)術(shù)研究機關(guān)華林學(xué)省做研究工作，后來又到總明觀任職。當(dāng)時的總明觀是全國最高的科研學(xué)術(shù)機構(gòu)，相當(dāng)于現(xiàn)在的中國科學(xué)院?？偯饔^內(nèi)分設(shè)文、史、儒、道、陰陽5門學(xué)科，實行分科教授制度，請來各地有名望的學(xué)者任教，祖沖之就是其一。在這里，祖沖之接觸了大量國家藏書，包括天文、歷法、術(shù)算方面的書籍，具備了借鑒與拓展的先決條件。

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潛心科學(xué)

461年(南朝宋大明五年)，祖沖之擔(dān)任南徐州(今江蘇鎮(zhèn)江)刺史府里的從事，先后任南徐州從事吏、公府參軍。祖沖之在這一段期間，雖然生活很不安定，但是仍然繼續(xù)堅持學(xué)術(shù)研究，并且取得了很大的成就。

462年(南朝宋大明六年)，祖沖之把精心編成的《大明歷》送給宋孝武帝請求公布實行，宋孝武帝命令懂得歷法的官員對這部歷法的優(yōu)劣進(jìn)行討論，最終，宋孝武帝決定在大明九年(465年)改行新歷。

464年(南朝宋大明六年)，祖沖之被調(diào)到婁縣(今江蘇昆山縣東北)作縣令。之后又到建康(今江蘇南京)，擔(dān)任謁者仆射的官職。從這時起，一直到南朝齊初年，他花了較大的精力來研究機械制造，重造出了用銅制機件傳動的指南車，發(fā)明了一天能走百里的"千里船"和"木牛流馬"、水碓磨(利用水力加工糧食的工具)，還設(shè)計制造過漏壺(古代計時器)和巧妙的欹器。

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晚年生活

祖沖之的晚年，正值南齊后期，統(tǒng)治階級內(nèi)部矛盾尖銳，政治黑暗，社會動蕩不安。在這種情況下，祖沖之的研究方向有了很大的變化。他著重研究文學(xué)和社會科學(xué)，同時也比較關(guān)心政治。

494年(南朝齊隆昌元年)到498年(南朝齊建武五年)之間，他擔(dān)任長水校尉的官職。當(dāng)時他寫了一篇《安邊論》，建議政府開墾荒地，發(fā)展農(nóng)業(yè)，增強國力，安定民生，鞏固國防。齊明帝看到后想令他"巡行四方，興造大業(yè)，可以利百姓者"，后因南齊的統(tǒng)治已經(jīng)無法再維持下去。國家政權(quán)搖搖欲墜，再加上南北朝之間的連年戰(zhàn)爭，祖沖之良好的政治主張無法在國家內(nèi)部施行，更無法實現(xiàn)了。

500年(南朝齊永元二年)，這位卓越的大科學(xué)家去世，享年七十二歲。他的天文歷法心血之作《大明歷》在510年(梁武帝天監(jiān)九年)才以《甲子元歷》之名頒行。主要成就

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數(shù)學(xué)成就

九章算術(shù)

數(shù)學(xué)史上的創(chuàng)舉--"祖率"

祖沖之算出圓周率(π)的真值在3.1415926和3.1415927之間，相當(dāng)于精確到小數(shù)第7位，簡化成3.1415926，祖沖之因此入選世界紀(jì)錄協(xié)會世界第一位將圓周率值計算到小數(shù)第7位的科學(xué)家。祖沖之還給出圓周率(π)的兩個分?jǐn)?shù)形式:22/7(約率)和355/113(密率)，其中密率精確到小數(shù)第7位。祖沖之對圓周率數(shù)值的精確推算值，對于中國乃至世界是一個重大貢獻(xiàn)，后人將"約率"用他的名字命名為"祖沖之圓周率"，簡稱"祖率"。

圓周率的應(yīng)用很廣泛，尤其是在天文、歷法方面，凡牽涉到圓的一切問題，都要使用圓周率來推算。如何正確地推求圓周率的數(shù)值，是世界數(shù)學(xué)史上的一個重要課題。中國古代數(shù)學(xué)家們對這個問題十分重視，研究也很早。在《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》中就提出徑一周三的古率，定圓周率為三，即圓周長是直徑長的三倍。此后，經(jīng)過歷代數(shù)學(xué)家的相繼探索，推算出的圓周率數(shù)值日益精確。

東漢張衡推算出的圓周率值為3.162。三國時王蕃推算出的圓周率數(shù)值為3.155。魏晉的著名數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注時創(chuàng)立了新的推算圓周率的方法--割圓術(shù)，將圓周率的值為邊長除以2，其近似值為3.14;并且說明這個數(shù)值比圓周率實際數(shù)值要小一些。劉徽以后，探求圓周率有成就的學(xué)者，先后有南朝時代的何承天，皮延宗等人。何承天求得的圓周率數(shù)值為3.1428，皮延宗求出圓周率值為22/7≈3.14。

祖沖之認(rèn)為自秦漢以至魏晉的數(shù)百年中研究圓周率成績最大的學(xué)者是劉徽，但并未達(dá)到精確的程度，于是他進(jìn)一步精益鉆研，去探求更精確的數(shù)值。

根據(jù)《隋書·律歷志》關(guān)于圓周率(π)的記載:"宋末，南徐州從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。"祖沖之把一丈化為一億忽，以此為直徑求圓周率。他計算的結(jié)果共得到兩個數(shù):一個是盈數(shù)(即過剩的近似值)，為3.1415927;一個是朒

圓周率

數(shù)(即不足的近似值)，為3.1415926。

盈朒兩數(shù)可以列成不等式，如:3.1415926(*)<π(真實的圓周率)<3.1415927(盈)，這表明圓周率應(yīng)在盈朒兩數(shù)之間。按照當(dāng)時計算都用分?jǐn)?shù)的習(xí)慣，祖沖之還采用了兩個分?jǐn)?shù)值的圓周率。一個是355/113(約等于3.1415927)，這一個數(shù)比較精密，所以祖沖之稱它為"密率"。另一個是22/7(約等于3.14)，這一個數(shù)比較粗疏，所以祖沖之稱它為"約率"。

祖沖之在圓周率方面的研究，有著積極的現(xiàn)實意義，他的研究適應(yīng)了當(dāng)時生產(chǎn)實踐的需要。他親自研究度量衡，并用最新的圓周率成果修正古代的量器容積的計算。古代有一種量器叫做" 釜 "，一般的是一尺深，外形呈圓柱狀，祖沖之利用他的圓周率研究，求出了精確的數(shù)值。他還重新計算了漢朝劉歆所造的"律嘉量"，利用"祖率"校正了數(shù)值。以后，人們制造量器時就采用了祖沖之的"祖率"數(shù)值。

數(shù)學(xué)杰作《綴術(shù)》

祖沖之寫過《綴術(shù)》五卷，被收入著名的《算經(jīng)十書》中?！?span id="pd5bjnb" class="candidate-entity-word" data-gid="2676092" qid="6580282712353936648" mention-index="1">隋書》評論"學(xué)官莫能究其深奧，故廢而不理"，認(rèn)為《綴術(shù)》理論十分深奧，計算相當(dāng)精密，學(xué)問很高的學(xué)者也不易理解它的內(nèi)容，在當(dāng)時是數(shù)學(xué)理論書籍中最難的一本。

在《綴術(shù)》中，祖沖之提出了"開差冪"和"開差立"的問題。"差冪" 一詞在劉徽為《九章算術(shù)》所作的注中就有了，指的是面積之差。"開差冪" 即是已知長方形的面積和長寬的差，用開平方的方法求它的長和寬，它的具體解法已經(jīng)是用二次代數(shù)方程求解正根的問題。而"開差立"就是已知長方體的體積和長、寬、高的差，用開立方的辦法來求它的邊長;同時也包括已知圓柱體、球體的體積來求它們的直徑的問題。所用到的計算方法已是用三次方程求解正根的問題了，三次方程的解法以前沒有過，祖沖之的解法是一項創(chuàng)舉。

《綴術(shù)》還曾流傳至朝鮮和日本，在朝鮮、日本古代教育制度、書目等資料中，都曾提到《綴術(shù)》。

《宋史·楚衍傳》中說"于《九章》《緝古》《綴術(shù)》《海島》諸算經(jīng)尤得其妙。天圣(1023-1031)初造新歷"。

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歷法成就

改革閏法

在古代，中國歷法家一向把十九年定為計算閏年的單位，稱為"一章"，在每一章里有七個閏年。也就是說，在十九個年頭中，要有七個年頭是十三個月，這種閏法一直采用了一千多年。412年，北涼趙厞創(chuàng)作《元始?xì)v》，才打破了歲章的限制，規(guī)定在六百年中間插入二百二十一個閏月。

祖沖之吸取了趙厞的理論，加上他自己的觀察，認(rèn)為十九年七閏的閏數(shù)過多，每二百年就要差一天，而趙厞六百年二百二十一閏也不十分準(zhǔn)確。因此，祖沖之提出了391年144閏月的新閏法。

祖沖之的閏周精密程度極高，按照他的推算，一個回歸年的長度為365.2428141日，與今天的推算值僅相差46秒。一直到南宋的《統(tǒng)天歷》，才采用了比這更精確的數(shù)據(jù)。

我國古代天文儀器

應(yīng)用"歲差"

根據(jù)物理學(xué)原理，剛體在旋轉(zhuǎn)運動時，假如絲毫不受外力的影響，旋轉(zhuǎn)的方向和速度應(yīng)該是一致的;如果受了外力影響，它的旋轉(zhuǎn)速度就要發(fā)生周期性的變化。地球就是一個表面凹凸不平、形狀不規(guī)則的剛體，在運行時常受其他星球吸引力的影響，因而旋轉(zhuǎn)的速度總要發(fā)生一些周期性的變化，不可能是絕對均勻一致的。因此，每年太陽運行一周(實際上是地球繞太陽運行一周)，不可能完全回到上一年的冬至點上，總要相差一個微小距離。按現(xiàn)代天文學(xué)家的精確計算，大約每年相差50.2秒，每七十一年八個月向后移一度。這種現(xiàn)象叫作歲差。

隨著天文學(xué)的逐漸發(fā)展，中國古代科學(xué)家們漸漸發(fā)現(xiàn)了歲差的現(xiàn)象。西漢的鄧平、東漢的劉歆、賈逵等人都曾觀測出冬至點后移的現(xiàn)象，不過他們都還沒有明確地指出歲差的存在。到東晉初年，天文學(xué)家虞喜才開始肯定歲差現(xiàn)象的存在，并且首先主張在歷法中引入歲差。他給歲差提出了第一個數(shù)據(jù)，算出冬至日每五十年退后一度。后來到南朝宋的初年，何承天認(rèn)為歲差每一百年差一度，但是他在他所制定的《元嘉歷》中并沒有應(yīng)用歲差。祖沖之繼承了前人的科學(xué)研究成果，不但證實了歲差現(xiàn)象的存在，算出歲差是每四十五年十一個月后退一度，而且在他制作的《大明歷》中應(yīng)用了歲差。

首次提出"交點月"的計算

祖沖之在我國天文學(xué)史上第一次提出，月亮相繼兩次通過黃道、白道的同一交點的時間(即"交點月")長度為27.2123日，與現(xiàn)今推算值僅相差十萬分之一日，即不到1秒，由于日食、月食(統(tǒng)稱交食)，都發(fā)生在黃白交點附近，所以祖沖之的交點月長度對于日月食預(yù)報具有十分重要的意義。

推算出交點月的日數(shù)以后，就更能準(zhǔn)確地推算出日蝕或月蝕發(fā)生的時間。祖沖之在他制訂的《大明歷》中，應(yīng)用交點月推算出來的日、月蝕時間比過去準(zhǔn)確，和實際出現(xiàn)日、月蝕的時間都很接近。

編撰《大明歷》

經(jīng)過實際觀測，祖沖之發(fā)現(xiàn)何承天所編的當(dāng)時正在執(zhí)行的《元嘉歷》有許多錯誤，如日月方位距實測值已相差3度，冬至、夏至已差了1天，五星的出沒已差40余天，于是他著手編撰《大明歷》。

祖沖之在《大明歷》的編纂中，區(qū)分了回歸年和恒星年，最早將歲差引進(jìn)歷法，提出了用圭表測量正午太陽影長以定冬至?xí)r刻的方法，并采用了391年加144個閏月的新閏周，推算出一個回歸年為365.24281481日。一直到南宋的《統(tǒng)天歷》，才采用了比這更精確的數(shù)據(jù)。

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天文成就

祖沖之對木、水、火、金、土等五大行星在天空運行的軌道和運行一周所需的時間，也進(jìn)行了觀測和推算，給出了更精確的五星會合周期。中國古代科學(xué)家算出木星(古代稱為歲星)每十二年運轉(zhuǎn)一周。西漢劉歆作《三統(tǒng)歷》時，發(fā)現(xiàn)木星運轉(zhuǎn)一周不足十二年。

祖沖之進(jìn)行了重新測量，得出木星每84年超辰一次的結(jié)論，即定木星公轉(zhuǎn)周期為11.858年(今測為11.862年)。并得出更精確多五星會合周期，木星398.903日(誤差0.019日)，火星780.031日(誤差0.094日)，土星378.070日(誤差0.022日)，金星583.931日(誤差0.009日)，水星115.880日(誤差0.002日)。

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機械制造

祖沖之所制的指南車

祖沖之設(shè)計制造過水碓磨、銅制機件傳動的指南車、千里船、定時器等。在中國古代指南車的名稱由來已久，但其機制構(gòu)造則未見流傳。三國時代的馬鈞曾造指南車，至?xí)x再次亡失。東晉末年劉裕攻長安，得后秦統(tǒng)治者許多器物，其中也有指南車，但"機數(shù)不精，雖曰指南，多不審正，回曲步驟，猶須人功正之"。南朝宋升明年間(477-479年)蕭道成輔政，"使沖之追修古法。沖之改造銅機，圓轉(zhuǎn)不窮而司方如一，馬鈞以來未有也。"祖沖之所制指南車的內(nèi)部機件全是銅的，它的構(gòu)造精巧，運轉(zhuǎn)靈活，無論怎樣轉(zhuǎn)彎，木人的手常常指向南方。

祖沖之改良了水碓磨。在西晉初年，杜預(yù)改進(jìn)發(fā)明了"連機碓"和"水轉(zhuǎn)連磨"。一個連機碓能帶動好幾個石杵一起一落地舂米;一個水轉(zhuǎn)連磨能帶動八個磨同時磨粉。祖沖之又在這個基礎(chǔ)上進(jìn)一步加以改進(jìn)，把水碓和水磨結(jié)合起來，生產(chǎn)效率就更加提高了。這種加工工具，中國南方有些農(nóng)村還在使用著。

祖沖之還設(shè)計制造過一種千里船，史載"又造千里船，于新亭江試之，日行百余里"。它可能是利用輪子激水前進(jìn)的原理造成的，一天能行一百多里。

祖沖之曾制造過"欹器"。這種器具用來盛水"中則正，滿則覆"，古人常放置在身邊以自警，"晉時杜預(yù)有巧思，造欹器三改不成"。南齊永明年間竟陵文宣王蕭子良"好古，沖之造欹器獻(xiàn)之"。

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其他成就

祖沖之的成就不僅限于自然科學(xué)方面，他還精通樂理.對于音律很有研究。祖沖之又著有《易義》《老子義》《莊子義》《釋論語》等關(guān)于哲學(xué)的書籍，都已經(jīng)失傳了。文學(xué)作品方面他著有《述異記》，在《太平御覽》等書中可以看到這部著作的片斷。

人物軼事

歷法之爭

祖沖之《辯戴法興難新歷》中名句

462年(南朝宋大明六年)，祖沖之把精心編成的《大明歷》送給宋孝武帝請求公布實行。宋孝武帝命令懂得歷法的官員對這部歷法的優(yōu)劣進(jìn)行討論。在討論過程中，祖沖之遭到了以戴法興為代表的反對，祖沖之著《歷議》一文予以駁斥。在"歷議"中，他寫下了兩句名言:"愿聞顯據(jù)，以核理實"，"浮辭虛貶，竊非所懼"。為了明辨是非，他愿意彼此拿出明顯的證據(jù)來相互討論，至于那些捕風(fēng)捉影無根據(jù)的貶斥，他絲毫也不懼怕。戴法興認(rèn)為，歷法中的傳統(tǒng)持續(xù)下來的方法是"古人制章"、"萬世不易"的;他責(zé)罵祖沖之是什么"誣天背經(jīng)"，認(rèn)為天文和歷法是"非凡夫所測"、"非沖之淺慮，妄可穿鑿"的。祖沖之卻大不以為然。他反駁說，不應(yīng)該"信古而疑今"，假如"古法雖疏，永當(dāng)循用"，那還成什么道理!日月五星的運行"非出神怪，有形可檢，有數(shù)可推"，只要進(jìn)行精密的觀測和研究，孟子所說的"千歲之日至可坐而致也"，是完全可以做得到的。

刻苦求精

在祖沖之那個時代，算盤還未出現(xiàn)，人們普遍使用的計算工具叫算籌，它是一根根幾寸長的方形或扁形的小棍子，有竹、木、鐵、玉等各種材料制成。通過對算籌的不同擺法，來表示各種數(shù)目，叫做籌算法。如果計算數(shù)字的位數(shù)越多，所需要擺放的面積就越大。用算籌來計算不象用筆，筆算可以留在紙上，而籌算每計算完一次就得重新擺動以進(jìn)行新的計算;只能用筆記下計算結(jié)果，而無法得到較為直觀的圖形與算式。因此只要一有差錯，比如算籌被碰偏了或者計算中出現(xiàn)了錯誤，就只能從頭開始。祖沖之為求得圓周率的精準(zhǔn)數(shù)值，就需要對九位有效數(shù)字的小數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除和開方運算等十

人物評價

華羅庚(《從祖沖之的圓周率談起》):"祖沖之不僅是一位數(shù)學(xué)家，同時還通曉天文歷法、機械制造、音樂，并且還是一位文學(xué)家。祖沖之制訂的《大明歷》，改革了歷法，他將圓周率算到了小數(shù)點后七位，是當(dāng)時世界最精確的圓周率數(shù)值，而他創(chuàng)造的"密率"聞名于世。"

《南史》:沖之解鐘律博塞，當(dāng)時獨絕，莫能對者。

人民網(wǎng):祖沖之父子的數(shù)學(xué)研究成就匯集于他的數(shù)學(xué)專著《綴術(shù)》中。這本書極其高深，以至于"學(xué)官莫能究其深奧，故廢而不理"。在唐朝官學(xué)中，《綴術(shù)》也被列為必讀的十部算經(jīng)之一，且需學(xué)習(xí)4年，年限為各經(jīng)之首。后來，《綴術(shù)》傳至朝鮮，但10世紀(jì)以后，《綴術(shù)》漸漸在各國失傳了。盡管今天已無從知道《綴術(shù)》的具體內(nèi)容，但從該書在唐代官學(xué)中的學(xué)習(xí)年限及史書中相關(guān)的零星記載，我們?nèi)钥梢韵胍娖鋵W(xué)術(shù)價值。

后世紀(jì)念

祖沖之環(huán)形山

為紀(jì)念這位偉大的古代科學(xué)家，1967年，國際天文學(xué)家聯(lián)合會把月球上的一座環(huán)形山命名為"祖沖之環(huán)形山"。

祖沖之星

1964年11月9日，為了紀(jì)念祖沖之對中國和世界科學(xué)文化作出的偉大貢獻(xiàn)，紫金山天文臺將1964年發(fā)現(xiàn)的，國際永久編號為1888的小行星命名為"祖沖之星"。

祖沖之銀幣

此紀(jì)念銀幣發(fā)行年代為